一、选择题:
1.(05春北京)在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形
2.2cos10°-sin20°sin70°的值是( )
A.12 B.32 C.3 D.2
3.f(x)=sinx cosx1+sinx+cosx的值域为( )
A.(―3―1,―1) ∪(―1, 3―1) B.[-2-12,―1) ∪(―1, 2-12]
C.(-3-12,3-12) D.[-2-12,2-12]
4.已知x∈(-π2,0),cosx=45,则tan2x等于( )
A.724 B.-724 C.247 D.-247
5.(2004春北京)已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( )
A.tanθ2<cotθ2, B.tanθ2>cotθ2, C.sinθ2<cosθ2, D.sinθ2>cosθ2.
6.(04江苏)已知0<α<π2,tanα2+cosα2=52,则sin(α-π3)的值为( )
A.4+3310 B.4-3310 C.33-410 D.-4+3310
7.等式sinα+3cosα=4m-64-m有意义,则m的取值范围是( )
A.(-1,73) B.[-1,73) C.[-1,73] D.[―73,―1]
8.在△ABC中,tanA tanB>1是△ABC为锐角三角形的( )
A.充要条件 B.仅充分条件 C.仅必要条件 D.非充分非必要条件
9.已知α.β是锐角,sinα=x,cosβ=y,cos(α+β)=-35,则y与x的函数关系式为( )
A.y=―351―x2+45x (35<x<1) B.y=―351―x2+45x (0<x<1)
C.y=―351―x2―45x (0<x<35) D.y=―351―x2―45x (0<x<1)
10.已知α∈(0,π),且sinα+cosα=15,则tanα的值为( )
A.-43 B.-43或-34 C.-34 D.43或-34
11.(05全国)在△ABC中,已知tanA+B2=sinC,则以下四个命题中正确的是( )
(1)tanA•cotB=1. (2)1<sinA+sinB≤2.
(3)sin2A+cos2B=1. (4)cos2A+cos2B=sin2C.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
12.函数y=3sinx2-cosx的值域为( )
A.[-3,3] B.[-3,1] C.[-1, 3] D.[-1,1]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题:
13.(03保定)若x=π3是方程2cos(x+α)=1的解,α∈(0,2π),则α=______.
14.已知cosθ+cos2θ=1,则sin2θ+sin6θ+sin8θ=____________
15.函数y=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值是_________
16.若圆内接四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D把圆周分成AB︵∶BC︵∶CD︵∶DA︵=4∶3∶8∶5,则四边形四个内角A、B、C、D的弧度数为_________________________
17.设cos(α-β2)=-19,sin(α2-β)=23,且π2<α<π,0<β<π2,求cos(α+β).
18.已知f(x)=2asin2x-22asinx+a+b的定义域是[0, π2],值域是[-5,1],求a、b的值.
19.(04湖北)已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0,α∈[π2,π),求sin(2α+π3)的值.
20.(05北京)在△ABC中,sinA+cosA=22,AC=2,AB=3,求tanA的值和△ABC的面积.
21.在矩形ABCD中,AB=a,BC=2a,在BC上取一点P,使得AB+BP=PD,求tan∠APD的值.
22.是否存在锐角α和β,使α+2β=2π3①,且tanα2tanβ=2-3②,同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
答案:
1.B 由2sinAcosB=sin(A+B) sin(B-A)=0 B=A.
2.C 原式=2cos(30°―20°)―sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.
3.B 令t=sin x+cos x=2sin(x+π4)∈[―2,―1)∪(―1, 2].
则f(x)=t2-121+t=t-12∈[-2-12,―1)∪(―1, 2-12].
4.D
5.B ∵sinθ>0,cosθ<0,tanθ2-cotθ2=sinθ2cosθ2-cosθ2sinθ2=-2cosθsinθ>0.
∴tanθ2>cotθ2.
6.B tanα2+cotα2=2sinα=52.∴sinα=45.cosα=35.
sin(α-π3)=12sinα-32cosα=4-3310.
7.C8.A
9.A y=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=―351―x2+45x>0 4x>31―x2 35<x<1.
10.A 解:当α∈(0, π2)时,sinα+cosα=2sin(α+π4)>1.故α∈(π2,π).
∴sinα>0,cosα<0.且|sinα|>|cosα|∴|tanα|>1.
由(sinα+cosα)2=125 sin2α=-2425 2tanα1+tan2α=-2425.
tanα=-43或tanα=-34(舍).
11.B 解:由tanA+B2=1-cos(A+B)sin(A+B)=1+cosCsinC=sinC
∴cosC=0,C=π2.
∴A+B=π2.故①式=tan2A≠1。②式=sinA+cosA=2sin(A+π4)∈(1,2],
③式=2sin2A≠1,④式=cos2A+sin2A=1=sin2C.
12.D 解:y=3sinx2-cosx 3sinx+ycosx=2y |sin(x+φ)|=|2y|y2+3≤1.
-1≤y≤1
13.4π3
14.1 解:cosθ=sin2θ,∴sin6θ=cos3θ,sin8θ=cos4θ.
∴sin2θ+sin6θ+sin8θ=cosθ+cos3θ+cos4θ=cosθ+cos2θ(cosθ+cos2θ)
=cosθ+cos2θ=1.
15.7 解:y=3sin(x+20°)+5[sin(x+20°)cos60°+cos(x+20°)sin60°]
=112sin(x+20°)+532cos(x+20°)
=7sin(x+20°+φ)≤7.
16.1120π, 13π20,9π20,7π20 解:∵2π4+3+8+5=π10.故四条弧所对圆心角分别为4π10,3π10,8π10,5π10.
四内角分别为12(3π10+8π10)=1120π.12(8π10+5π10)=13π20,9π20,7π20.
17.分析:∵α+β2=(α―β2)―(α2-β).
解:∵α∈(π2,π)β∈(0, π2).
∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2.
∴由cos(α-β2)=-19得sin(α-β2)=459,
由sin(α2-β)=23.得cos(α2-β)=53.
∴cosα+β2=cos[(α―β2)―(α2―β)]=…=7527.
∴cos(α+β)=2×(7527)2-1=-239729.
18.解:令sinx=t,∵x∈[0, π2].∴t∈[0,1].
f(x)=g(t)=2at2-22at+a+b=2a(t-22)2+b.
当a>0时,则b=-5a+b=1 a=6b=-5
当a<0时,则b=1a+b=-5 a=-6b=1 .
19.解:依题知α≠π2,cosα≠0.
方程可化为6tan2α+tanα-2=0. tanα=-23或12 (舍).
∴sin(2α+π3)=sin2αcosπ3+cos2α•sinπ3
=sinαcosα+32(cos2α-sin2α)=sinαcosαsin2α+cos2α+32•cos2α-sin2α cos2α+sin2α
=tanα1+tan2α+32×1-tan2α1+tan2α=-613+5326.
20.解:sinA+cosA=2cos(A-45°)=22,
∴cos(A-45°)=12.
∵0°<A<180°,
∴A-45°=60°,A=105°,
∴tanA=tan(60°+45°)=―2―3,
sinA=sin(60°+45°)=6+24,
∴S△ABC=12AC•AB.sinA=12×2×3×6+24=34(6+2).
21.解:如图作PE⊥AD于E.设BP=X.
则x+a=(2a-x)2+a2,
∴x=2a3,
∴AE=BP=2a3,DE=PC=43a,
∴tan∠APD=tan(∠1+∠2)=23+431-23×43=18.
22.解1:由①得α2+β=π3,
∴tan(α2+β)=tanα2+tanβ1-tanα2tanβ=3.
将②代入得tanα2+tanβ=3-3.
∴tanα2,tanβ是方程x2―(3―3)x+2-3=0的两根.
解得x1=1,x2=2-3.
若tanα2=1,则α=π2与α为锐角矛盾.
∴tanβ=1, tanα2=2-3,
∴β=π4.代入①得α=π6.满足tanα2=2-3.
解2:由①得α2=π3-β,代入②得:
tan(π3-β)•tanβ=2-3 3-tanβ1+3tanβ•tanβ=2-3.
tan2β―(3―3)tanβ+2-3=0;tanβ=1或2-3.
若tanβ=1,则β=π4,α=π6.
若tanβ=2-3.代入②得cotα2=1,则α=π2不合题意.
故存在α=π6,β=π4使①、②同时成立.
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