一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分)
1.设全集 ，集合 ， ，则 ▲ .
2. 已知直线 ，则直线 的倾斜角为 ▲ .
3. 已知函数 ， ，则函数 的值域为 ▲ .
4. 在正方体 中，与 异面的棱的条数为 ▲ .
5. 若函数 是偶函数，则函数 的单调递减区间是 ▲ .
6. ▲ .
7．已知函数 的图象经过点 ，则函数 的图象必经过点 ▲ ．
8. 用二分法求函数 的一个零点，其参考数据如下：
f(2)≈-0.699 f(3) ≈0.477 f(2.5) ≈-0.102 f(2.75) ≈0.189
f(2.625) ≈0.044 f(2.5625)≈-0.029 f(2.59375)≈0.008 f(2.57813≈-0.011
根据此数据，可得方程 的一个近似解（精确到0.1）为 ▲ .
9.已知函数 ，若 ，则 = ▲ .
10.已知两条直线 ， ，若 ∥ ，则 与 之间的距离是 ▲ .
11.已知 是两条直线， 是两个平面，有下列4个命题：
①若 ∥ ， ，则 ∥ ；
②若 ， ， ，则 ∥ ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 是异面直线， ， ，则 ∥ .
则其中正确的命题是 ▲ （写出所有正确命题的序号）.
12.已知 的圆心为 ，且被直线 截得的弦长为 ，则 的方程为
▲ .
13.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位： )，则它的体积是 ▲ .
14. 已知集合 ， , 且 ，则由实数 的取值组成的集合是 ▲ .
二．解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)
已知△ 的三个顶点分别为 ， ， ，求：
（Ⅰ） 边上的中线 所在的直线方程；
（Ⅱ）△ 的面积．
16．(本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ)证明函数 是偶函数；
(Ⅱ)在如图所示的平面直角坐标系中作出函数 的图象．
17. (本小题满分15分)
如图，在正方体 中， 是 和 的交点. 求证：
（Ⅰ） ∥平面 ；
（Ⅱ）平面 平面 ．
18. (本小题满分15分)
某家庭对新购买的商品房进行装潢，设装潢开始后的时间为 （天），室内每立方米空气中甲醛含量为 （毫克）.已知在装潢过程中， 与 成正比；在装潢完工后， 与 的平方成反比，如图所示．
（Ⅰ）写出 关于 的函数关系式；
（Ⅱ）已知国家对室内甲醛含量的卫生标准是甲醛浓度不超过0.08毫克 立方米.按照这个标准，这个家庭装潢完工后，经过多少天才可以入住？
19. (本小题满分16分)
已知函数 是奇函数 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）试判断函数 在（ ， ）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
20.（本小题满分16分）
如图，已知 O： 和定点 ，由 O外一点 向 O引切线PQ，Q为切点，且满足 ．
(Ⅰ) 求实数 之间满足的关系式；
(Ⅱ) 求线段PQ的最小值；
(Ⅲ) 是否存在以 点为圆心，过点 且与 O相切的圆．若存在，试求出 的方程；若不存在，请说明理由．
江苏省宿迁中学2008-2009高一年级第一学期期末数学模拟测
参考答案
本卷满分160，用时120分钟.
一．填空题(本大题共14题，每题5分，共计70分)
1. . 2. .
3. . 4. 6 .
5. . 6. 28 .
7. . 8. 2.6 .
9. . 10. .
11. ②、③ . 12. .
13. 6 . 14. .
二．解答题(本大题共6题，15，16两题每题14分，17，18两题每题15分，19，20两题每题16分，共计90分．应写出较详尽的解答过程)
15．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得BC中点D的坐标为 ，………………………………… 2分
∴中线AD所在的直线方程是 ，………………………………5分
即 ………………………………………………7分
（Ⅱ）∵ ，………………………………9分
直线BC的方程是 ，
点A到直线BC的距离是 ……………………12分
∴△ABC的面积是 ． ……………………………………14分
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵ ，
=
=
∴ 是偶函数. ……………………………………6分
（Ⅱ）∵ ，函数 图象如图所示.
…………………14分
17. （本小题满分15分）
证明:( Ⅰ)连接 ,设 ,连接 ,
因为 ∥ ,且 = ,
∴四边形 是平行四边形,
∥ , ……………………………………3分
又 ∥面 , 面 ,
∴ ∥平面 . ……………………………………7分
(Ⅱ) ⊥ , ⊥ ,又 ,
∴ ⊥平面 , …………………………………11分
又 平面 ,
∴平面 ⊥平面 . ……………………………… 14分
18. （本小题满分15分）
解: (Ⅰ)设直线 ,将点 代入直线方程,得 ,
即 ……………………………………………… 4分
设 ,将点 代入，得 ,即
……………………………………8分
关于 的函数是 …………………………………… 10分
(Ⅱ)由题意知, , 解得 或 (舍)……………13分
又 (天)
答:按这个标准,这个家庭在装潢后60天方可入住. …………… 14分
19. （本小题满分16分）
解:（Ⅰ）由题意可得： =
∵ 是奇函数 ∴
即
∴ ，即 ……………………………………4分
即
（Ⅱ）设 为区间 内的任意两个值，且 ，
则 ， ，
∵ = =
即 ∴ 是 上的增函数. ………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知， 是 上的增函数，且是奇函数.
∵ 0
∴ =
∴ …………………………13分
即 对任意 恒成立.
只需 = = ，
解之得 ……………………………………………………16分
20. （本小题满分16分）
解:( Ⅰ)连接 ,∵ ， …………………2分
∴ ,即 . ………………………6分
（Ⅱ）设
，∴
∴当 ⊥ 时， 的长度最小，即 = = ，
∴ . ………………………………………11分
（Ⅲ）假设存在满足条件的圆 .
当 与 相外切时，设点 坐标为 .
则 =1+ ， ……………………………………… 13分
两边平方得 （*）
∵ 0，
∴（*）式无解，∴不存在这样的圆； ………………………………………14分
同理可得，当 与 相内切时也不存在. ………………………………… 15分
综上可知, 满足条件的圆 不存在. ………………………………… 16分
编辑者：保定家教（保定家教网)
